Wat is de Gulden Snede?
De Gulden Snede wordt meestal uitgelegd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.
Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:
Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot
Met de abc-formule vinden we
x = (–1 + √5)/2 » 0.618
of
x = (–1 – √5)/2 » –1.618.
We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + √5)/2 voldoet.
Het getal (–1 + √5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met je rekenmachine vind je dat
j » 0,61803398875.
Als je toch je rekenmachine bij de hand hebt, kijk dan eens wat er gebeurt als je het omgekeerde van j berekent
(dus 1/j).
De Gulden Snede heeft blijkbaar de eigenschap dat
1/j = 1 + j.
Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. Op deze pagina geven we
1 + j
weer met de hoofdletter F (dus F » 1,61803398875).
Betekenis van de Gulden Snede
De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. De verhouding van de zijden van de knoppen op de knoppenbalk van deze website is ook gelijk aan de Gulden Snede!
Een voorbeeld van "mooie" verhoudingen zie je in de onderstaande afbeelding. Een ervaren schilder of fotograaf zal de horizon meestal niet midden in beeld plaatsen, maar bij voorkeur een stuk daarboven of daaronder. Ook zal het hoofdmotief bij een dergelijke landschapsfoto als regel niet in het midden staan. Vanzelfsprekend gaat een fotograaf daarbij niet op zijn rekenmachine de Gulden Snede op tien decimalen nauwkeurig berekenen; in sommige fotoboeken vind je de vuistregel dat het motief op 1/3 of 2/3 van het beeld moet staan.
Ten tweede heeft de Gulden Snede interessante wiskundige eigenschappen:
1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling.
2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie. Teken maar eens een regelmatig pentagram.
Een regelmatig pentagram
Elk van de vijf driehoeken is een gelijkbenige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 1 : j (= F : 1).
3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci.
Bekijk de volgende reeks getallen eens:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
Weet jij wat de volgende drie getallen zijn?
De reeks getallen die je hierboven hebt bekeken, staat beter bekend als de rij van Fibonacci. Zoals je wellicht is opgevallen, kun je een nieuw getal berekenen door de voorgaande twee getallen bij elkaar op te tellen. De reeks wordt dus als volgt aangevuld:
233 + 377 = 610
377 + 610 = 987
610 + 987 = 1597
Net als de Gulden Snede duiken deze Fibonaccigetallen in de natuur op de meest vreemde plaatsen op. Het bekendste voorbeeld is het feit dat zonnebloempitten zodanig staan ingeplant dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen.
Die stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. Zoals je ziet zijn het steeds opeenvolgende Fibonaccigetallen. Dezelfde spiraalsgewijze inplanting komt ook voor bij schubben van denneappels of ananassen. De getallen zijn daar 8 en 13.